几何变换（一）

1. 线性变换

1.1 定义

假设有某种数学函数 $τ$ ，输入矢量 $\vec{u}$ ，输出的仍然是一个矢量，且满足以下条件

\begin{aligned} τ (u + v) & = τ (u) + τ (v) \\ τ (k u) & = k τ (u) \end{aligned}

那么定义 $τ$ 为线性变换

1.2 举例

比如 $τ (u_{x}, u_{y}, u_{z}) = (u_{x}^{2}, u_{y}^{2}, u_{z}^{2})$ 就不是线性变换，因为不满足第二条

1.3 使用矩阵表示

一般使用矩阵表示一个线性变换，设一个三维矢量 $\vec{v} = [x, y, z]^{T} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ ，那么对其做线性变换

\begin{matrix} (1.3.1) & \begin{aligned} τ (\vec{v}) & = τ (x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \\ = τ (\vec{i}) x + τ (\vec{j}) y + τ (\vec{k}) z \\ = [\begin{array}{c} ↑ & ↑ & ↑ \\ τ (\vec{i}) & τ (\vec{j}) & τ (\vec{k}) \\ ↓ & ↓ & ↓ \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} T_{11} & T_{12} & T_{13} \\ T_{21} & T_{22} & T_{23} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] \end{aligned} \end{matrix}

2. 缩放变换

2.1 定义

定义放缩变换为

S (x, y, z) = (S_{x} x, S_{y} y, S_{z} z)

用矩阵表示

S = [\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} \end{matrix}]

3. 旋转变换

以右手坐标系为例

3.1 正方向约定

描述一个旋转角度时，一般约定沿着坐标轴负方向向原点看，逆时针为正方向

3.2 围绕标准轴旋转

3.2.1 结果

围绕 $x, y, z$ 轴旋转 $θ$ 的旋转矩阵

\begin{aligned} R_{x} & = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (θ) & - \sin (θ) \\ 0 & \sin (θ) & \cos (θ) \end{array}] \\ R_{y} & = [\begin{array}{c} \cos (θ) & 0 & \sin (θ) \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin (θ) & 0 & \cos (θ) \end{array}] \\ R_{z} & = [\begin{array}{c} \cos (θ) & - \sin (θ) & 0 \\ \sin (θ) & \cos (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}

3.2.2 求解过程

以 $R_{z}$ 为例

标准矢量 $\vec{i} = [1, 0, 0]^{T}, \vec{j} = [0, 1, 0]^{T}, \vec{k} = [0, 0, 1]^{T},$ 经过旋转 $θ$ 后，结果为

\begin{aligned} R_{z} (\vec{i}) & = [\cos (θ), \sin (θ), 0]^{T} \\ R_{z} (\vec{j}) & = [- \sin (θ), \cos (θ), 0]^{T} \\ R_{z} (\vec{k}) & = [0, 0, 1]^{T} \end{aligned}

所以根据公式1.3.1

R_{z} = [\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) & 0 \\ \sin (θ) & \cos (θ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

3.3 围绕任意轴

3.3.1 结果

有穿过原点单位轴 $\vec{n}$

求围绕该轴旋转 $θ$ 的旋转矩阵

3.3.2 求解过程

将矢量 $\vec{v}$ 分解成两个矢量的和，一个是平行于 $\vec{n}$ 的分量 ${\vec{v}}_{1}$ 和垂直于 $\vec{n}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2}$

\begin{aligned} \vec{v} & = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} \\ ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ & = ∥ \vec{v} ∥ \cos (α) \\ ∥ {\vec{v}}_{2} ∥ & = ∥ \vec{v} ∥ \sin (α) \end{aligned}

由于 $\vec{n}$ 是单位矢量， $∥ \vec{n} ∥ = 1$ ，所以

\begin{matrix} (3.3.2.1) & \vec{v} \cdot \vec{n} = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{n} ∥ \cos (α) = ∥ \vec{v} ∥ \cos (α) = ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ \end{matrix}

\begin{matrix} (3.2.2.2) & ∥ \vec{v} \times \vec{n} ∥ = ∥ \vec{v} ∥ ∥ \vec{n} ∥ \sin (α) = ∥ \vec{v} ∥ \sin (α) = ∥ {\vec{v}}_{2} ∥ \end{matrix}

所以根据公式3.3.2.1， ${\vec{v}}_{1}$ 和 $\vec{n}$ 同方向，且长度和 $\vec{v} \cdot \vec{n}$ 相等，所以

\begin{matrix} (3.3.2.3) & {\vec{v}}_{1} = ∥ {\vec{v}}_{1} ∥ \vec{n} = (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} \end{matrix}

由于 ${\vec{v}}_{1}$ 不受旋转影响，所以

\begin{matrix} (3.3.2.4) & R_{n} (\vec{v}) = {\vec{v}}_{1} + R_{n} ({\vec{v}}_{2}) \end{matrix}

$R_{n} ({\vec{v}}_{2})$ 可以分解成两部分，一部分是平行于 ${\vec{v}}_{2}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2} \cos (θ)$ 另一部分是垂直于 ${\vec{v}}_{2}$ 的分量 ${\vec{v}}_{2} \sin (θ)$ ，联合公式3.2.2.2

\begin{matrix} (3.3.2.5) & R_{n} ({\vec{v}}_{2}) = {\vec{v}}_{2} \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{matrix}

代入3.3.2.4可以得到

\begin{matrix} (3.3.2.6) & \begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = {\vec{v}}_{1} + R_{n} ({\vec{v}}_{2}) \\ = {\vec{v}}_{1} + {\vec{v}}_{2} \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = {\vec{v}}_{1} + (\vec{v} - {\vec{v}}_{1}) \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) {\vec{v}}_{1} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{aligned} \end{matrix}

这个公式称为罗德里格旋转公式Rodrigues' rotation formula,使用以下方法得到其矩阵形式

3.3.3 一般形式

\begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = \vec{v} - \vec{v} + \vec{v} \cos (θ) + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} - (1 - \cos (θ)) \vec{v} + (1 - \cos (θ)) (\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - \vec{v}] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \\ = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - (\vec{n} \cdot \vec{n}) \vec{v}] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ) \end{aligned}

根据矢量三重积公式，可以得到

(\vec{v} \cdot \vec{n}) \vec{n} - (\vec{n} \cdot \vec{n}) \vec{v} = \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{v})

所以

R_{n} (\vec{v}) = \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{v})] + (\vec{n} \times \vec{v}) \sin (θ)

使用向量 $\vec{n}$ 的叉乘矩阵 $[n]_{\times}$ 来代替叉乘，这里记矩阵 $M_{n}$ 为向量 $\vec{n}$ 的叉积矩阵

M_{n} = [\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix}]

使用矩阵形式表达罗德里格旋转公式

\begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = I \vec{v} + (1 - \cos (θ)) [M_{n} (M_{n} \vec{v})] + M_{n} \vec{v} \sin (θ) \\ = [I + (1 - \cos (θ)) M_{n}^{2} + M_{n} \sin (θ)] \vec{v} \end{aligned}

所以矩阵形式的罗德里格旋转公式的公式为

R_{n} = I + M_{n}^{2} (1 - \cos (θ)) + M_{n} \sin (θ)

3.3.4 三维行列式

设 $\vec{n} = [x, y, z]^{T}, c = \cos (θ), s = \sin (θ)$ 分别将 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 带入3.3.2.6，得到

\begin{aligned} R_{n} (\vec{i}) & = c \vec{i} + (1 - c) (\vec{i} \cdot \vec{n}) \vec{n} + (\vec{n} \times \vec{i}) s \\ = [c + (1 - c) x^{2}, (1 - c) x y + s z, (1 - c) x z - s y]^{T} \\ R_{n} (\vec{j}) & = [(1 - c) x y - s z, c + (1 - c) y^{2}, (1 - c) y z + s x]^{T} \\ R_{n} (\vec{k}) & = [(1 - c) x z + s y, (1 - c) y z - s x, c + (1 - c) z^{2}]^{T} \end{aligned}

代入公式1.3.1得到

R_{n} = [\begin{matrix} c + (1 - c) x^{2} & (1 - c) x y - s z & (1 - c) x z + s y \\ (1 - c) x y + s z & c + (1 - c) y^{2} & (1 - c) y z - s x \\ (1 - c) x z - s y & (1 - c) y z + s x & c + (1 - c) z^{2} \end{matrix}]

3.4 四元数

3.4.1 复数

复数(Complex Number)可以表达为

\begin{array}{r} z = a + b i \\ a, b \in R, i^{2} = - 1 \end{array}

其中 $a$ 被成为实部(Real Part), $b$ 被称为虚部(Imaginary Part), 复数的基本运算规律如下，设 $z_{1} = a_{1} + b_{1} i, z_{2} = a_{2} + b_{2} i$ ，那么

\begin{aligned} z_{1} + z_{2} & = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i \\ z_{1} - z_{2} & = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) i \\ z_{1} z_{2} & = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i \end{aligned}

3.4.2 四元数定义

四元数(Quaternion)可以视为对复数的扩充，有1个实部，3个虚部，形式如下

q = s + x i + y j + z k

其中 $s, x, y, z \in R$ ， $i, j, k$ 满足如下计算性质

\begin{aligned} i^{2} & = j^{2} = k^{2} = i j k = - 1 \\ i j & = k j i = - k \\ j k & = i k j = - i \\ k i & = j i k = - j \end{aligned}

汇总到如下表格中

	$i$	$j$	$k$
$i$	$- 1$	$k$	$- j$
$j$	$- k$	$- 1$	$i$
$k$	$j$	$- i$	$- 1$

四元数也可以表达成将实数部和虚数部分开的形式，对于四元数 $q = s + x i + y j + z k$ ，设 $\vec{v} = [x, y, z]^{T}$ ，则这个四元数可以表达为

q = [s, \vec{v}]

3.4.3 四元数的基本运算

对于两个四元数 $q_{1} = [s_{1}, \vec{v_{1}}], q_{2} = [s_{2}, \vec{v_{2}}]$ ，基本运算规律如下

\begin{aligned} q_{1} + q_{2} & = [s_{1} + s_{2}, \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}] \\ q_{1} - q_{2} & = [s_{1} - s_{2}, \vec{v_{1}} - \vec{v_{2}}] \\ q_{1} q_{2} & = [s_{1} s_{2} - \vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}}, s_{1} \vec{v_{2}} + s_{2} \vec{v_{1}} + \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}] \end{aligned}

四元数的乘法满足结合律，但不满足交换律

\begin{aligned} (q_{1} q_{2}) q_{3} & = q_{1} (q_{2} q_{3}) \\ q_{1} q_{2} & \neq q_{2} q_{1} \end{aligned}

但如果 $q_{1}, q_{2}$ 中的向量部分平行，由于 $\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = 0$ ，易证

\begin{matrix} (3.4.3.1) & q_{1} q_{2} = q_{2} q_{1} (w h e n \vec{v_{1}} ∥ \vec{v_{2}}) \end{matrix}

定义四元数 $q = s + x i + y j + z k$ 的模为

∥ q ∥ = \sqrt{s^{2} + x^{2} + y^{2} + z^{2}}

如果一个四元数的模为1，那么称这个四元数为单位四元数

3.4.4 四元数的共轭和逆

定义四元数 $q = [s, \vec{v}]$ 的共轭四元数 $\overset{―}{q}$ 为

\overset{―}{q} = [s, - \vec{v}]

共轭四元数满足如下运算

\begin{matrix} (3.4.4.1) & q \overset{―}{q} = \overset{―}{q} q = ∥ q ∥^{2} \end{matrix}

对于单位四元数，有 $q \overset{―}{q} = 1$
定义四元数 $q$ 的逆为 $q^{- 1}$ ，满足 $q q^{- 1} = 1$ ，由公式3.4.4.1可知

q q^{- 1} = 1 = \frac{q \overset{―}{q}}{∥ q ∥}

所以

\begin{matrix} (3.4.4.2) & q^{- 1} = \frac{\overset{―}{q}}{∥ q ∥^{2}} \end{matrix}

四元数的逆满足如下运算

\begin{matrix} (3.4.4.3) & \begin{aligned} (q_{1} q_{2})^{- 1} & = q_{2}^{- 1} q_{1}^{- 1} \\ (q_{1} q_{2} \dots q_{n})^{- 1} & = q_{n}^{- 1} \dots q_{2}^{- 1} q_{1}^{- 1} \end{aligned} \end{matrix}

易知，如果是单位四元数

\begin{matrix} (3.4.4.4) & \overset{―}{q_{1} q_{2} \dots q_{n}} = \overset{―}{q_{n}} \dots \overset{―}{q_{2}} \overset{―}{q_{1}} \end{matrix}

3.4.5 四元数与向量

如果一个四元数的实部为0，那么称之为纯四元数(Pure Quaternion)，由于纯四元数仅有3个虚部，可以将一个3D向量转换为一个纯四元数。记 $q_{v} = [0, \vec{v}]$ ，那么

\begin{aligned} λ q_{v} & = [0, λ \vec{v}] \\ q_{u} \pm q_{v} & = [0, \vec{u} \pm \vec{v}] \end{aligned}

由此可见，向量的线性运算，都可以使用与之对应的纯四元数来代替。但乘法则不同，设两个纯四元数 $q_{u} = [0, \vec{u}], q_{v} = [0, \vec{v}]$ ，相乘后结果为

\begin{matrix} (3.4.5.1) & q_{u} q_{v} = [- \vec{u} \cdot \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}] \end{matrix}

对于向量 $\vec{v}$ ，记四元数 $q (θ, \vec{v}) = [\cos θ, \vec{v} \sin θ]$ ，这种四元数有一些很有用的特性，首先如果 $\vec{v}$ 是单位向量，那么 $q (θ, \vec{v})$ 是单位四元数，易证:

∥ q (θ, \vec{v}) ∥ = \sqrt{\cos^{2} θ + \sin^{2} θ (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})} = 1

另外

\begin{matrix} (3.4.5.2) & \begin{aligned} q (α, \vec{v}) q (θ, \vec{v}) & = [\cos α, \vec{v} \sin α] [\cos θ, \vec{v} \sin θ] \\ = [\cos α \cos θ - \sin α \sin θ, \vec{v} (\cos α \sin θ + \cos θ \sin α)] \\ = [\cos (α + θ), \vec{v} \sin (α + θ)] \\ = q (α + θ, \vec{v}) \\ q (θ, \vec{v})^{2} & = q (2 θ, \vec{v}) \end{aligned} \end{matrix}

3.4.6 使用四元数表达旋转

观察上面推导罗德里格旋转公式过程中的公式3.3.2.5，其中

\begin{aligned} \vec{n} \times \vec{v} & = \vec{n} \times (v_{1} + v_{2}) \\ = \vec{n} \times \vec{v_{1}} + \vec{n} \times \vec{v_{2}} \\ = \vec{n} \times \vec{v_{2}} \end{aligned}

带入公式3.3.2.5,可以得到

\begin{matrix} (3.4.6.1) & R_{n} ({\vec{v}}_{2}) = {\vec{v}}_{2} \cos (θ) + (\vec{n} \times \vec{v_{2}}) \sin (θ) \end{matrix}

设两个纯四元数 $q_{n}, q_{v 2}$

\begin{matrix} (3.4.6.2) & \begin{aligned} q_{n} & = [0, \vec{n}] \\ q_{v 2} & = [0, \vec{v_{2}}] \end{aligned} \end{matrix}

根据公式3.4.5.1

\begin{matrix} (3.4.6.3) & \begin{aligned} q_{n} q_{v 2} & = [- \vec{n} \cdot \vec{v_{2}}, \vec{n} \times \vec{v_{2}}] \\ = [0, \vec{n} \times \vec{v_{2}}] \end{aligned} \end{matrix}

所以 $q_{n} q_{v 2}$ 是一个纯四元数
由于3.4.6.1中都是线性计算，将3.4.6.2和3.4.6.3代入其中，可以得到 $R_{n} ({\vec{v}}_{2})$ 的四元数形式

\begin{matrix} (3.4.6.4) & \begin{aligned} [0, R_{n} ({\vec{v}}_{2})] & = q_{v 2} \cos θ + q_{n} q_{v 2} \sin θ \\ = (\cos θ + q_{n} \sin θ) q_{v 2} \\ = [\cos θ, \vec{n} \sin θ] q_{v 2} \\ = q (θ, \vec{n}) q_{v 2} \end{aligned} \end{matrix}

设一个新的四元数 $p$

\begin{matrix} (3.4.6.5) & p = q (\frac{θ}{2}, \vec{n}) = [\cos \frac{θ}{2}, \vec{n} \sin \frac{θ}{2}] \end{matrix}

根据公式3.4.5.2，可以得到

p p = q (θ, \vec{n})

且由于 $p$ 是单位四元数，可以知道

p p^{- 1} = p \overset{―}{p} = 1

将3.4.6.4带入3.3.2.4中，可以得到罗德里格旋转公式的四元数形式为

\begin{matrix} (3.4.6.6) & \begin{aligned} R_{n} (\vec{v}) & = {\vec{v}}_{1} + R_{n} ({\vec{v}}_{2}) \\ [0, R_{n} (\vec{v})] & = q_{v 1} + q (θ, \vec{n}) q_{v 2} \\ = p \overset{―}{p} q_{v 1} + p p q_{v 2} \end{aligned} \end{matrix}

由于 $\vec{n} ∥ \vec{v_{1}}$ ，根据公式3.4.3.1，可知 $\overset{―}{p} q_{v 1} = q_{v 1} \overset{―}{p}$
由于 $\vec{n} ⊥ \vec{v_{2}}$ ，可以推断出 $p q_{v 2} = q_{v 2} \overset{―}{p}$ ，证明如下：

\begin{aligned} p q_{v 2} & = [\cos \frac{θ}{2}, \vec{n} \sin \frac{θ}{2}] [0, \vec{v_{2}}] \\ = [0, \vec{v_{2}} \cos \frac{θ}{2} + (\vec{n} \times \vec{v_{2}}) \sin \frac{θ}{2}] \\ q_{v 2} \overset{―}{p} & = [0, \vec{v_{2}}] [\cos \frac{θ}{2}, - \vec{n} \sin \frac{θ}{2}] \\ = [0, \vec{v_{2}} \cos \frac{θ}{2} - (\vec{v_{2}} \times \vec{n}) \sin \frac{θ}{2}] \end{aligned}

带入3.4.6.6，可以得到

\begin{matrix} (3.4.6.7) & \begin{aligned} [0, R_{n} (\vec{v})] & = p q_{v 1} \overset{―}{p} + p q_{v 2} \overset{―}{p} \\ = p (q_{v 1} + q_{v 2}) \overset{―}{p} \\ = p q_{v} \overset{―}{p} \end{aligned} \end{matrix}

也就是说，对于向量 $\vec{v}$ ，围绕单位向量 $\vec{n}$ 旋转 $θ$ ，只需要构造四元数 $[\cos \frac{θ}{2}, \vec{n} \sin \frac{θ}{2}]$ ，可以利用下面的等式计算旋转后的向量 $\vec{v^{'}}$

[0, \vec{v^{'}}] = [\cos \frac{θ}{2}, \vec{n} \sin \frac{θ}{2}] [0, \vec{v}] [\cos \frac{θ}{2}, - \vec{n} \sin \frac{θ}{2}]

3.4.7 四元数组合

使用四元数表达旋转有一个好处就是可以实现组合、插值等计算，例如一个向量 $v$ 经过两次旋转变化，用四元数表示分别是 $q_{1}, q_{2}$ ，那么

\begin{aligned} q^{'} & = q_{2} (q_{1} q_{v} \overset{―}{q_{1}}) \overset{―}{q_{2}} \\ = (q_{2} q_{1}) q_{v} (\overset{―}{q_{1}} \overset{―}{q_{2}}) \end{aligned}

根据公式3.4.4.4，可知

q^{'} = (q_{2} q_{1}) q_{v} (\overset{―}{q_{2} q_{1}})

3.4.7 四元数转换为旋转矩阵

两个四元数相乘，可以转换为同等效果的矩阵，设两个四元数

\begin{array}{r} p = a + b i + c j + d k \\ q = s + x i + y j + z k \end{array}

那么

\begin{aligned} p q = & (a + b i + c j + d k) (s + x i + y j + z k) \\ = & (a s - b x - c y - d z) + \\ (b s + a x - d y + c z) i + \\ (c s + d x + a y - b z) j + \\ (d s - c x + b y + a z) k \end{aligned}

可以将左乘四元数 $p$ 视作左乘矩阵 $L (p)$

L (p) = [\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{matrix}]

而右乘四元数 $p$ 视作左乘矩阵 $R (q)$

Q (q) = [\begin{matrix} a & - b & - c & - d \\ b & a & d & - c \\ c & - d & a & b \\ d & c & - b & a \end{matrix}]

那么旋转一个向量 $\vec{v}$ 对应的四元数 $q_{v}$ 的过程可以写作

p q_{v} \overset{―}{p} = L (p) R (\overset{―}{p}) q_{v}

或者

p q_{v} \overset{―}{p} = R (\overset{―}{p}) L (p) q_{v}

容易证明，这两个结果是一样的，经计算

\begin{aligned} L (p) R (\overset{―}{p}) q_{v} & = [\begin{array}{c} a & - b & - c & - d \\ b & a & - d & c \\ c & d & a & - b \\ d & - c & b & a \end{array}] [\begin{array}{c} a & b & c & d \\ - b & a & - d & c \\ - c & d & a & - b \\ - d & - c & b & a \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 2 c^{2} - 2 d^{2} & 2 b c - 2 a d & 2 a c + 2 b d \\ 0 & 2 b c + 2 a d & 1 - 2 b^{2} - 2 d^{2} & 2 c d - 2 a b \\ 0 & 2 b d - 2 a c & 2 a b + 2 c d & 1 - 2 b^{2} - 2 c^{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 0 \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{array}] \end{aligned}

忽略掉四元数中为0的实数部分，可以将一个旋转四元数转换为旋转矩阵

v^{'} = [\begin{matrix} 1 - 2 c^{2} - 2 d^{2} & 2 b c - 2 a d & 2 a c + 2 b d \\ 2 b c + 2 a d & 1 - 2 b^{2} - 2 d^{2} & 2 c d - 2 a b \\ 2 b d - 2 a c & 2 a b + 2 c d & 1 - 2 b^{2} - 2 c^{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}]

其中

\begin{aligned} a & = \cos (θ / 2) \\ b & = \sin (θ / 2) n_{x} \\ c & = \sin (θ / 2) n_{y} \\ d & = \sin (θ / 2) n_{z} \end{aligned}