斐波那契数列和1/89 | 我的博客和笔记

斐波那契数列作为最有名的数列之一广为人之，它的顺序就是 0,1,1,2,3,5,8,13,… 每个数字都是前两个数字的和，这个数列有很多有意思的特征，比和数字“89”的关系。方法很简单，把数列排列成一列，然后每个数都依次右移，最后加在一起形成一个小数，这个数恰好就是1/89。

         0.0
         0.01
         0.001
         0.0002
         0.00003
         0.000005
         0.0000008
         0.00000013
         0.000000021
         0.0000000034
             ...
        ----------------
         0.01123595505618...  =  1/89

这个是很容易证明的，我们知道Fibonacci数列的一般形式如下

\begin{matrix} (1) & a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}] \end{matrix}

设 $α = (1 + \sqrt{5}) / 2, β = (1 - \sqrt{5}) / 2$ ，那么

\begin{matrix} (2) & a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} (α^{n} - β^{n}) \end{matrix}

对于最开始提到的那个小数，可以描述为下面的方式

\begin{matrix} (3) & S = \frac{a_{0}}{10^{1}} + \frac{a_{1}}{10^{2}} + \frac{a_{2}}{10^{3}} + \dots = \frac{1}{10} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{10^{n}} \end{matrix}

把公式2带入公式3，可以得到

\begin{matrix} (4) & S = \frac{1}{10} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{1}{10^{n}} (α^{n} - β^{n}) = \frac{1}{10 \sqrt{5}} [\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{α}{10})^{n} - \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{β}{10})^{n}] \end{matrix}

由于 $α$ 和 $β$ 都小于10，根据等比数列的求和计算方法，可以得到

\begin{matrix} (5) & S = \frac{1}{10 \sqrt{5}} [\frac{1}{1 - α / 10} - \frac{1}{1 - β / 10}] = \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{α - β}{(10 - α) (10 - β)} = \frac{1}{89} \end{matrix}