SPH算法简介（一）: 数学基础

SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)算法是一种流体模拟算法，他的特点是简单快速，可以用在例如游戏这样的实时的交互软件中。SPH算法虽然简单，但要完全搞明白其中的原理和实现方法，也不是易事，写这个系列希望能全面介绍一下相关的内容，如果你搜索到这里，可以仔细看一下这个系列，希望能帮到你。
烟雾、海浪、水滴…，这些司空见怪的自然现象其实有着非常复杂的数学规律，对于流体的研究，有两种完全不同的视角，分别是欧拉视角和拉格朗日视角。欧拉视角的坐标系是固定的，如同站在河边观察河水的流动一样，用这种视角分析流体需要建立网格单元，还会涉及到有限元等复杂的工程方法，一般用在离线的应用中。而拉格朗日视角则将流体视为流动的单元，例如将一片羽毛放入风中，那么羽毛的轨迹可以帮我们指示空气的流动规律。

SPH算法是典型的拉格朗日视角，它的基本原理就是通过粒子模拟流体的运动规律，然后再转换成网格进行流体渲染。

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在正式开始之前，需要把SPH算法涉及到的相关数学概念介绍一下，这些概念基本上都是大学数学中的内容，所以不用紧张，翻翻书就能想起来。

标量场和矢量场

如果空间区域内一点 $M$ ，都有一个确定的数量 $f_{M}$ ，则称这个空间区域内确定了一个标量场，如果空间区域内任意一点 $M$ ，都有一个确定的向量 $\vec{F_{M}}$ ，则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如，液体中的密度，就是标量场，而速度，就是矢量场

偏导数

对于多元函数 $z = f (x, y)$ ，定义 $z$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处相对于 $x$ 的偏导数为

\begin{matrix} (1.1) & \frac{\partial z}{\partial x} = lim_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + △ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{△ x} \end{matrix}

例如，定义 $z = x^{2} + 2 x y + y^{3}$ ，那么 $\partial z / \partial x = 2 x + 2 y, \partial z / \partial y = 2 x + 3 y^{2}$

哈密顿算子

哈密顿算子 $\nabla$ 在流体力学中是如此重要，以至于很多地方将这个符号作为流体力学的标志，所以这里要着重介绍一下，所谓“算子”，就是那种不能单独存在，必须和其他符号放在一起的一种数学符号，例如微分中的那个“ $d$ ”。哈密顿算子的定义如下：

\begin{matrix} (1.2) & \nabla \equiv \vec{x} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{y} \frac{\partial}{\partial y} + \vec{z} \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}

哈密顿算子有很多有趣的特性，它本身虽然并不是一个矢量，但很多运算确实可以把它视为一个矢量，例如把它作用在一个标量场 $A = f (x, y, z)$ 上，那么

\begin{matrix} (1.3) & \nabla A = \vec{x} \frac{\partial f}{\partial x} + \vec{y} \frac{\partial f}{\partial y} + \vec{z} \frac{\partial f}{\partial z} \end{matrix}

这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法，得到的 $\nabla A$ 是一个矢量场，称为 $A$ 的“梯度”，顾名思义，梯度的含义就是标量场 $A$ 在某处变化快慢和方向，比如一个标量场 $H (x, y)$ 是一座高山在 $(x, y)$ 处的高度，则H的梯度是该高山在某处陡峭的程度，并且方向指向高处。

而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场 $\vec{A}$ 上，得到的 $\nabla \cdot \vec{A}$ 称为矢量场 $A$ 的“散度”，散度的计算和矢量的点积运算相似，得到的是一个标量场。

\begin{matrix} (1.4) & \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{A} & = (\vec{x} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{y} \frac{\partial}{\partial y} + \vec{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\vec{x} A_{x} + \vec{y} A_{y} + \vec{z} A_{z}) \\ = \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} \end{aligned} \end{matrix}

散度的意义也很明显，就是描述一个矢量场“发散”的程度，例如下面的两个矢量场，左边的有很大的散度，而右边的散度为0

拉普拉辛算子

拉普拉辛算子 $\nabla^{2}$ 是二阶微分算子，有时也可写作 $Δ$ 或者 $\nabla \cdot \nabla$

\begin{matrix} (1.5) & \nabla^{2} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \end{matrix}

例如对于 $A = f (x, y, z)$

\begin{matrix} (1.6) & \nabla^{2} A = \frac{\partial^{2} A}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A}{\partial z^{2}} \end{matrix}