微平面理论(二)

6. 法线分布函数详解

6.1 归一化约束

所有的法线分布函数都应该符合以下约束

(\vec{v} \cdot \vec{n}) = \int_{Ω} D (m) (\vec{v} \cdot \vec{m}) d ω_{m}

可以理解为，这些为平面在某个指定方向上的投影面积，等于整体宏平面的投影面积

当 $v = n$ 时，有

1 = \int_{Ω} D (\vec{m}) (\vec{n} \cdot \vec{m}) d ω_{m}

6.2 Phong

Phong模型认为，反射强度正比于 $(\vec{n} \cdot \vec{m})^{α}$ ，其中 $α$ 表示材质的“光滑程度”，当 $α = 0$ ，材质是绝对的漫反射材质，当 $α \to \infty$ ，材质成为绝对光滑的镜面，设

D_{p h o n g} (\vec{m}) = R_{p} (\vec{n} \cdot \vec{m})^{α}

由上面法线分布函数的归一性可知

1 = \int_{Ω} R_{p} (\vec{n} \cdot \vec{m})^{α + 1} d ω_{m}

由于 $d ω_{m} = \sin (θ) d ϕ d θ$

1 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} R_{p} \cos^{α + 1} (θ) \sin (θ) d θ d ϕ = \frac{2 π}{2 + α} R_{p}

可以得到最终D函数为

D_{p h o n g} (\vec{m}) = \frac{2 + α}{2 π} (\vec{n} \cdot \vec{m})^{α}

一般引擎用粗糙度（取值范围[0,1])表示材质的光滑程度，Phong模型中的 $α$ 常用如下公式计算

α_{p h o n g} = \frac{2}{r o u g h n e s s^{4}} - 2

用Mathmatica绘制函数图

6.3 Beckmann

Beckmann的法线分布函数为

D_{b e c k m a n n} (\vec{m}) = R_{b e c k m a n n} \frac{1}{α^{2} (\vec{n} \cdot \vec{m})^{4}} e^{- (\frac{1 - (\vec{n} \cdot \vec{m})^{2}}{(\vec{n} \cdot \vec{m})^{2} α^{2}})}

经过积分计算 $R_{b e c k m a n n} = 1 / π$ ，所以

D_{b e c k m a n n} (\vec{m}) = \frac{1}{π α^{2} (\vec{n} \cdot \vec{m})^{4}} e^{- (\frac{1 - (\vec{n} \cdot \vec{m})^{2}}{(\vec{n} \cdot \vec{m})^{2} α^{2}})}

Beckmann法线分布函数中， $α$ 同样代表了材质的粗糙度，趋向于0时表示绝对光滑，取值却大约粗糙，但当取值超过1时，材质会变得“超级粗糙”（诡异）， $α$ 用如下公式获取

α_{b e c k m a n n} = r o u g h n e s s^{2}

当 $α$ 取值在0.5以下时，Beckmann模型和Phong模型的结果非常相似，这两个参数可以有如下对应关系

α_{p h o n g} = \frac{2}{α_{b e c k m a n n}^{2}} - 2

6.4 Trowbridge-Reitz(GGX)

这个模型又被称为GGX模型，是UnrealEngine采用的法线分布函数

D_{G G X} (\vec{m}) = R_{G G X} \frac{1}{((\vec{n} \cdot \vec{m})^{2} (α^{2} - 1) + 1)^{2}}

经过积分 $R_{G G X} = α^{2} / π$ ，所以

D_{G G X} (\vec{m}) = \frac{α^{2}}{π ((\vec{n} \cdot \vec{m})^{2} (α^{2} - 1) + 1)^{2}}

在Mathmatica中的模拟

可以看出，当 $α$ 趋向于0，表示材质越光滑，当 $α = 1$ 时，GGX称为一条直线，也就是纯粹的漫反射材质，当 $α > 1$ ，GGX模型的表现类似于Beckmann，表现出“超级粗糙”特性。和Phong模型比较，可以看出在粗糙度小于0.4时，ggx和phong模型比较类似，当粗糙度大于0.4时，ggx的表现更“平顺”一些，高光中心更集中，但长尾区域更长。

在Unreal实现中，定义了 $α = r o u g h n e s s^{2}$ ， roughness是用户输入的材质粗糙度，范围在[0,1]之间