如何生成一个随机的圆形

最近在工作中遇到这么一个问题：

在游戏场景中有一个怪物生成点，这个生长点产生的怪物均匀分布在半径为R的圆形内，这个随机算法应该如何生成？看起来很简单，随手写了一个：

#define RAND  ((float)rand()/RAND_MAX)
 
void get_random_pos(float center_x, float center_y, float radius, float&x, float& y)
{
    float u = RAND*radius;
    float v = RAND*2*PI;
    
    x = center_x + u*cos(v);
    y = center_y + u*sin(v);
}

但写的过程中，直觉告诉我，这么写肯定是有问题的，试想，如果以北京为例，如果北京的人口是均匀分布的，那么如果让所有人都报出自己家和天安门的距离，那么这些数据肯定不是均匀，因为居住在五环附近的人数肯定要大于居住在二环附近的人数，于是用Mathamatica实验一下：

果然，这么写是不对的，网上查了一下，这个问题还真是有人研究过，说应该把所获得的随机数开平方一下，实验一下：

但是，这个开平方背后的数学原理究竟是什么呢？抽空翻了下概率书，原来，其中的道理并不复杂，这里涉及到概率里的一个基本概念，累计分布函数（Cumulative distribution function），简称CFD，它的定义如下： 设有一个随机变量$X$，它的取值范围是从负无穷到正无穷，如果把它的值小于$x$的概率表达为一个函数$F(x)$，那么这个函数就称为$X$的累计分布函数

以最为常见的均匀分布概率为例，设均匀分布的随机变量$X$的取值范围是$[a,b]$，那么它的累计分布函数以及函数图像是

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& b\le x\end{array}$$

对于一个累计分布函数，符合以下规律

• $0\le F(x)\le 1$
• $F(x)$单调递增
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=1$

回到我们的问题中，假设怪物产生的范围的半径为$R$，随机产生一只怪物时，它和中心的距离是一个随机变量$X$，显然，对于怪物均匀分布的情况，$X$落在半径为$x$的圆内的概率，等于半径为$x$小圆和半径为$X$的大圆的面积之比

也就是说

现在我们手头上只有均匀概率的随机数产生器，要想产生这么个随机数需要用到一个很巧妙的运算，就是反函数。设随机变量$u$是一个均匀分布在$[0,1]$之间的随机数，另一个随机变量$X=F-1(u)$,现在我们需要证明X的累计分布函数是$F(x)$
证明如下

初看起来有点复杂，其实在下面的图上可以很直观的理解这个过程：

这是利用了$F(x)$是单调递增函数的特性，在我们的问题中，$F(x)$的反函数可以表达为

所以最终的算法可以写成

#define RAND  ((float)rand()/RAND_MAX)
 
void get_random_pos(float center_x, float center_y, float radius, float&x, float& y)
{
    float u = sqrt(RAND)*radius;
    float v = RAND*2*PI;
    
    x = center_x + u*cos(v);
    y = center_y + u*sin(v);
}