微表面理论(三)

7. 几何衰减因子

7.1 定义

一束光线照射到微平面上，在到达之前或者反射之后，有可能被其他微平面阻挡，这种阻挡造成族中出射光线的衰减，可以用几何衰减因子 $G$ 描述这种衰减程度

7.2 Torrance-Sparrow

以入射光线被阻挡为例，计算衰减因子 $G$

根据上图可知

\sin α = \frac{1}{y}

根据正弦定理

\frac{x}{\sin γ} = \frac{2}{\sin (β + π / 2)}

联立以上两式，可以得到入射光线的有效比例为

G_{1} = \frac{x}{y} = \frac{2 \sin γ \sin α}{\sin (β + π / 2)}

其中

\begin{aligned} \sin α & = \vec{n} \cdot \vec{h} \\ \sin (β + π / 2) & = \cos β = \vec{v} \cdot \vec{h} \\ \sin γ & = \vec{n} \cdot \vec{l} \end{aligned}

所以可以求得

G_{1} = \frac{2 (\vec{n} \cdot \vec{h}) (\vec{n} \cdot \vec{l})}{\vec{v} \cdot \vec{h}}

同理，反转 $\vec{v}$ 和 $\vec{l}$ ，可以求得反射光线被微表面阻挡的情况

G_{2} = \frac{2 (\vec{n} \cdot \vec{h}) (\vec{n} \cdot \vec{v})}{\vec{v} \cdot \vec{h}}

所以光线受几何衰减因子的影响共有三种可能性，完全不受影响，照射光被阻挡，反射光被阻挡，最终的表达式为

\begin{aligned} G (\vec{l}, \vec{v}, \vec{h}) & = min {1, G_{1}, G_{2}} \\ = min {1, \frac{2 (\vec{n} \cdot \vec{h}) (\vec{n} \cdot \vec{l})}{\vec{v} \cdot \vec{h}}, \frac{2 (\vec{n} \cdot \vec{h}) (\vec{n} \cdot \vec{v})}{\vec{v} \cdot \vec{h}}} \end{aligned}

7.3 Schlick-Beckmann

在Unreal Engine中，使用了这种模型，在这种模型中

\begin{aligned} G (\vec{l}, \vec{v}, \vec{h}) & = G_{1} (\vec{l}) G_{1} (\vec{v}) \\ G_{1} (\vec{v}) & = \frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{(\vec{n} \cdot \vec{v}) (1 - k) + k} \end{aligned}

在原始的Schlick算法中，定义

k = α \sqrt{\frac{2}{π}}

在Unreal实现中，调整为

k = \frac{α}{2}

根据所计算的光源的不同， $α$ 的定义也不同，当使用间接光源(IBL)时

\begin{aligned} α & = r o u g h n e s s^{2} \\ k & = \frac{r o u g h n e s s^{2}}{2} \end{aligned}

使用直接光源时，

\begin{aligned} α & = {(\frac{r o u g h n e s s + 1}{2})}^{2} \\ k & = \frac{(r o u g h n e s s + 1)^{2}}{8} \end{aligned}

8. 菲尼尔反射方程

8.1 定义

当入射光线碰到一个反射平面时，菲尼尔反射方程会根据观察角度计算出反射光线所占的比例。当光线垂直入射时，材质反射的光线的比例称为基础反射率(Base Reflectivity)，一般用 $F_{0}$ 表示，随着入射角的增大，反射的比例会增加，这种现象被称为菲涅尔现象。

8.2 Schlick

菲涅尔方程是一个相当复杂的方程式，一般用Fresnel-Schlick近似:

F_{s c h l i c k} (\vec{l}, \vec{h}, F_{0}) = F_{0} + (1 - F_{0}) (1 - (\vec{l} \cdot \vec{h}))^{5}

在Mathmatica中模拟

在Unreal引擎中，使用了一个模拟运算以加快速度

F_{s c h l i c k} (\vec{l}, \vec{h}, F_{0}) = F_{0} + (1 - F_{0}) 2^{(- 5.55473 (\vec{l} \cdot \vec{h}) - 6.98316) (\vec{l} \cdot \vec{h})}

8.3 导体和绝缘体

对于大多数绝缘体（非金属）， $F_{0}$ 的范围在0.02和0.05之间，实际运算中一般取经验平均值 $F_{0} = 0.04$ ，并且绝缘体的 $F_{0}$ 对不同波长的光的数值是相同的，可以视作一个灰度值。对于导体（金属）， $F_{0}$ 的范围在0.5到1.0之间，并且对不同的波长的光的数值不同，所以在实际运算中， $F_{0}$ 的取值一般使用如下公式获得

F_{0} = mix (0.04, C o l o r, M e t a l n e s s)

其中 $M e t a l n e s s$ 表示金属度，0表示存粹的绝缘体(非金属)，1表示导体(金属)