渲染方程（一）

1. 定义

1.1 反射方程

计算反射表面反射到 $\vec{ω_{o}}$ 方向上的来自于上半球所有方向入射光的辐射率

L_{o} (\vec{ω_{o}}) = \int_{Ω} f (\vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}}) L_{i} (\vec{ω_{i}}) \cos θ_{i} d ω_{i}

上式称为反射方程（Reflectance Equation），用来计算表面反射辐射率

1.2 渲染方程

将反射方程增加上自发光因素，可以得到渲染方程(Rendering equation)

L_{o} (\vec{ω_{o}}) = L_{e} (\vec{ω_{o}}) + \int_{Ω} f (\vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}}) L_{i} (\vec{ω_{i}}) \cos θ_{i} d ω_{i}

完整形式的渲染方程，需要考虑到反射平面所处的位置、时间，光的波长这些因素，具体形式为

L_{o} (x, \vec{ω_{o}}, λ, t) = L_{e} (x, \vec{ω_{o}}, λ, t) + \int_{Ω} f (x, \vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}}, λ, t) L_{i} (x, \vec{ω_{i}}, λ, t) (\vec{ω_{i}} \cdot \vec{n}) d ω_{i}

根据前面的微表面理论分析，入射光能量在材质表面分解为两部分，高光反射部分，比例为 $k_{s} = F$ ，折射到材质内部的部分，比例为 $1 - F$ ，这部分能量一部分在材质内部转换为其他能量消失掉（对于金属材质为全部），一部分重新从表面发射出去，称为漫反射，所以漫反射的比例为 $k_{s} = (1 - F) (1 - M)$ ，其中 $M$ 表示金属度，范围从0到1，所以可以将反射方程中的BRDF分解为两部分

f (\vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}}) = k_{d} f_{d} (\vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}}) + k_{s} f_{s} (\vec{ω_{i}}, \vec{ω_{o}})

3. Lambert漫反射模型

参考 Lambert模型认为，材质的漫反射是均匀发射到所有方向的，所以 $f_{d}$ 是一个常数，先设想一个最简单的情况，材质只有漫反射，也就是 $k_{d} = 1, k_{s} = 0$ ,入射光均匀遍布所有的方向，而且每个方向的亮度都是相同的常数。因为这样 $f_{d}$ 和 $L_{i}$ 都是常数，可以提到积分外面。反射方程变成

L_{o} = f_{d} L_{i} \int_{Ω} \cos θ_{i} d ω_{i}

计算这个半球积分

\int_{Ω} \cos θ d ω = \int_{- π}^{π} \int_{0}^{π / 2} \sin (θ) \cos (θ) d θ d ϕ = π

得到

L_{o} = f_{d} L_{i} π

考虑一下，如果所有方向都有射向球面的光，而且每个方向的光强度都等于 $L_{i}$ ，那么小平面受到的入射光照度，应该等于光强度乘以半球面积。

E_{i} = 2 π L_{i}

根据能量守恒，光出射度 $M_{o} = E_{i}$

M_{o} = 2 π L_{o} = 2 π^{2} f_{d} L_{i} = 2 π L_{i}

可知

f_{d} = \frac{1}{π}

考虑材质的颜色，在这里颜色可定义为对三原色的吸收比例，比如白色(1,1,1)表示不吸收任何光，红色(1,0,0)表示将绿色和蓝色完全吸收掉，所以最终漫反射的BRDF为

f_{d} = \frac{c}{π}

4.最终形式

Cook-Torrance模型其实就是一种材质的高光模型，公式

f_{s} = \frac{D G F}{4 (\vec{n} \cdot {\vec{ω}}_{i}) (\vec{n} \cdot {\vec{ω}}_{o})}

中的 $F$ 就是高光反射的分量比例 $k_{s}$ ，所以结合在一起，得到最终的渲染方程为

L_{o} (\vec{ω_{o}}) = L_{e} (\vec{ω_{o}}) + \int_{Ω} (k_{d} \frac{c}{π} + \frac{D G F}{4 ({\vec{ω}}_{o} \vec{n}) ({\vec{ω}}_{i} \vec{n})}) L_{i} (\vec{ω_{i}}) ({\vec{ω}}_{i} \vec{n}) d ω_{i}

其中

k_{d} = (1 - F) (1 - M)