几何变换（二）

4. 仿射变换

4.1 齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

4.1.1 定义

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量或者一个n维的点用一个n+1维坐标来表示，例如二维点 $[x, y]$ ,用 $[x, y, w]$ 表示，它等同于笛卡尔坐标系中的 $[x / w, y / w]$

[x, y, w] \Leftrightarrow [\frac{x}{w}, \frac{y}{w}]

4.1.2 齐次的含义

笛卡尔坐标 $[x, y]$ ，等同于齐次坐标 $[k x, k y, k]$ ，所以称作该坐标是"齐次"，Homogeneous一词有“同质”的含义，译作同质坐标可能更准确一些

4.1.3 点和矢量

在图形学中，一般用 $[x, y, 0]$ 表示一个二维矢量，用 $[x, y, z, 1]$ 表示一个二维点。这样可以保证矢量的“平移不变性”，也就是一个矢量经过平移变换，仍然保持和原先一致。

[\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}]

两个矢量的和或者差

\begin{aligned} \vec{u} \pm \vec{v} & = [u_{x}, u_{y}, u_{z}, 0] \pm [v_{x}, v_{y}, v_{z}, 0] \\ = [u_{x} \pm v_{x}, u_{y} \pm v_{y}, u_{z} \pm v_{z}, 0] \end{aligned}

仍然是一个矢量，而两个点的差也是矢量，点和矢量的和或者差也是矢量

\begin{aligned} v e c t o r + v e c t o r & = v e c t o r \\ p o i n t - p o i n t & = v e c t o r \\ p o i n t + p o i n t & = ? \\ p o i n t + v e c t o r & = p o i n t \end{aligned}

其次坐标表示的两个点的和也是有意义的，表示两个点的中点

\begin{aligned} + [x_{2}, y_{2}, 1] & = [x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, 2] \\ = [\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, 1] \end{aligned}

4.2 齐次矩阵表达

4.2.1 线性变换无法表示图形学中所有的几何变换，因此需要定义一种变换为

α (\vec{v}) = τ (\vec{v}) + \vec{b}

用矩阵表达为

\begin{aligned} α (\vec{v}) & = A \vec{v} + \vec{b} \\ = [\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] + [\begin{array}{c} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{array}] & = [\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{array}] \end{aligned}

常用4X4齐次矩阵来做这种运算

[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & b_{x} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & b_{y} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & b_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{matrix}]

5. 平移变换

5.1 定义

空间中的某一点 $u$ ，移动到 $u + \vec{b}$ ，那么用齐次矩阵表示这个变换为

T = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & b_{x} \\ 0 & 1 & 0 & b_{y} \\ 0 & 0 & 1 & b_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

6. 组合变换

6.1 定义

图形学中将所有变换统一使用4X4的齐次坐标组合

R = R_{n} \dots R_{3} R_{2} R_{1}

这样，一系列变换可以组合到一个矩阵中完成

\dots (R_{3} (R_{2} (R_{1} \vec{u})) = (\dots R_{3} R_{2} R_{1}) \vec{u}

6.2 坐标系变换

一个物体在不同坐标系中的变换，比如常用的局部坐标系到世界坐标系的变换

设新坐标系x'y'z'的原点在原坐标系的 $\vec{O} (x_{o}, y_{o}, z_{o})$ 处，新坐标系的单位坐标矢量在原坐标系中的矢量为 $\vec{i^{'}}, \vec{j^{'}}, \vec{k^{'}}$ ，那么将物体的坐标从原先坐标系xyz转换到新坐标系x'y'z'的转换可以分为两部分

6.2.1 平移矩阵

构建平移矩阵，目的是将物体在原坐标系中的坐标做一个偏移，这个偏移可以视作将物体和新坐标系一起移动，将新坐标系的原点 $O$ 挪到原坐标系的原点处，可以得到

T = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - x_{0} \\ 0 & 1 & 0 & - y_{0} \\ 0 & 0 & 1 & - z_{0} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

6.2.2 构建旋转矩阵

接下来要构建一个旋转矩阵 $R$ ，目的是将片以后的物体坐标和新坐标系旋转到和原坐标系一致，也就是经过这个矩阵，可以将新坐标系中的 $x^{'}$ 轴旋转到原坐标系的 $x$ 轴，也就是:

R [\begin{matrix} i_{x}^{'} \\ i_{y}^{'} \\ i_{z}^{'} \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

同理，也需要将 $y^{'}$ 轴旋转到 $y$ 轴， $z^{'}$ 轴旋转到 $z$ 轴

这个矩阵并不好直接写出，但是它的逆矩阵就比较容易，也就是能够将写出

R^{- 1} = [\begin{matrix} i_{x}^{'} & j_{x}^{'} & k_{x}^{'} & 0 \\ i_{y}^{'} & j_{y}^{'} & k_{y}^{'} & 0 \\ i_{z}^{'} & j_{z}^{'} & k_{z}^{'} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

这个矩阵满足

\begin{aligned} R^{- 1} [1, 0, 0, 0]^{T} & = [i_{x}^{'}, i_{y}^{'}, i_{z}^{'}, 0]^{T} \\ R^{- 1} [0, 1, 0, 0]^{T} & = [j_{x}^{'}, j_{y}^{'}, j_{z}^{'}, 0]^{T} \\ R^{- 1} [0, 0, 1, 0]^{T} & = [k_{x}^{'}, k_{y}^{'}, k_{z}^{'}, 0]^{T} \end{aligned}

由于这是一个正交矩阵，所以

R = (R^{- 1})^{T} = [\begin{matrix} i_{x}^{'} & i_{y}^{'} & i_{z}^{'} & 0 \\ j_{x}^{'} & j_{y}^{'} & j_{z}^{'} & 0 \\ k_{x}^{'} & k_{y}^{'} & k_{z}^{'} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

6.2.3 组合后的坐标转换矩阵

\begin{aligned} R T & = [\begin{array}{c} i_{x}^{'} & i_{y}^{'} & i_{z}^{'} & - (x_{0} i_{x}^{'} + y_{0} i_{y}^{'} + z_{0} i_{z}^{'}) \\ j_{x}^{'} & j_{y}^{'} & j_{z}^{'} & - (x_{0} j_{x}^{'} + y_{0} j_{y}^{'} + z_{0} j_{z}^{'}) \\ k_{x}^{'} & k_{y}^{'} & k_{z}^{'} & - (x_{0} k_{x}^{'} + y_{0} k_{y}^{'} + z_{0} k_{z}^{'}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} i_{x}^{'} & i_{y}^{'} & i_{z}^{'} & - \vec{O} \cdot \vec{i^{'}} \\ j_{x}^{'} & j_{y}^{'} & j_{z}^{'} & - \vec{O} \cdot \vec{j^{'}} \\ k_{x}^{'} & k_{y}^{'} & k_{z}^{'} & - \vec{O} \cdot \vec{k^{'}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}

验证

\begin{aligned} R T [i_{x}^{'}, i_{y}^{'}, i_{z}^{'}, 0]^{T} & = [1, 0, 0, 0]^{T} \\ R T [j_{x}^{'}, j_{y}^{'}, j_{z}^{'}, 0]^{T} & = [0, 1, 0, 0]^{T} \\ R T [k_{x}^{'}, k_{y}^{'}, k_{z}^{'}, 0]^{T} & = [0, 0, 1, 0]^{T} \\ R T [x_{0}, y_{0}, z_{0}, 1]^{T} & = [0, 0, 0, 1]^{T} \end{aligned}