原文链接: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
作者: 阮一峰
日期: 2013年7月 4日
上一次,我介绍了一些数论知识
有了这些知识,我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。

六、密钥生成的步骤

我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?

第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)
第二步,计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
\begin{equation}n = 61×53 = 3233\end{equation}
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。
第三步,计算n的欧拉函数\(\phi(n)\)
根据公式1.4:
\begin{equation}\phi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1)\end{equation}
爱丽丝算出\(\phi(3233)\)等于60×52,即3120。
第四步,随机选择一个整数e,条件是\(1\lt e \lt\phi(n)\),且e与\(\phi(n)\) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)
第五步,计算e对于\(\phi(n)\)的模反元素d。
所谓”模反元素“就是指有一个整数d,可以使得ed被\(\phi(n)\)除的余数为1。
\begin{equation}ed\equiv1\pmod {\phi(n)}\end{equation}
这个式子等价于
\begin{equation}ed-1=k\phi(n)\end{equation}
于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求整数解。
\begin{equation}ex+\phi(n)y=1\end{equation}
已知 \(e=17,\phi(n)=3120\),
\begin{equation}17x+3120y=1\end{equation}
这个方程可以用”扩展欧几里得算法“求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。
实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达。

七、RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:
\begin{equation}p,q,n,\phi(n),e,d\end{equation}
这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。
那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

(1)\(ed\equiv1\pmod {\phi(n)}\)。只有知道e和\(\phi(n)\),才能算出d。
(2)\(\phi(n)=(p-1)(q-1)\)。只有知道p和q,才能算出\(\phi(n)\)。
(3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。
可是,大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道:

  ”对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之,对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。
假如有人找到一种快速因数分解的算法,那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”

举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

1230186684530117755130494958384962720772853569595334
7921973224521517264005072636575187452021997864693899
5647494277406384592519255732630345373154826850791702
6122142913461670429214311602221240479274737794080665
351419597459856902143413

它等于这样两个质数的乘积:

3347807169895689878604416984821269081770479498371376
8568912431388982883793878002287614711652531743087737
814467999489
    ×
3674604366679959042824463379962795263227915816434308
7642676032283815739666511279233373417143396810270092
798736308917

事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

八、加密和解密

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。
(1)加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。
所谓”加密”,就是算出下式的c:
\begin{equation}m^e\equiv c\pmod {n}\end{equation}
爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:
\begin{equation}6517 \equiv 2790 \pmod {3233}\end{equation}
于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
(2)解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:
\begin{equation}c^d \equiv m \pmod {n}\tag{2.1}\end{equation}
也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出
\begin{equation}27902753 \equiv 65 \pmod {3233}\end{equation}
因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此,”加密–解密”的整个过程全部完成。
我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种”对称性加密算法”(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

九、私钥解密的证明

最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明2.1这个式子:
\begin{equation}c^d \equiv m \pmod {n}\end{equation}
因为,根据加密规则
\begin{equation}m^e \equiv c\pmod {n}\end{equation}
于是,c可以写成下面的形式:
\begin{equation}c=m^e-kn\end{equation}
将c代入要我们要证明的那个解密规则:
\begin{equation}(m^e-kn)^{d}\equiv m\pmod {n}\end{equation}
它等同于求证
\begin{equation}m^{ed}\equiv m\pmod {n}\end{equation}
由于
\begin{equation}ed\equiv1\pmod {\phi(n)}\end{equation}
所以
\begin{equation}ed=h\phi(n)+1\end{equation}
将ed代入:
\begin{equation}m^{h\phi(n)+1}\equiv m\pmod{n}\end{equation}
接下来,分成两种情况证明上面这个式子。
(1)m与n互质。
根据欧拉定理,此时
\begin{equation}m^{\phi(n)}\equiv 1\pmod{n}\end{equation}
得到
\begin{equation}{(m^{\phi(n)})}^h\times m\equiv m\pmod{n}\end{equation}
原式得到证明。
(2)m与n不是互质关系。
此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。
以m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:
\begin{equation}{(kp)}^{q-1}\equiv 1\pmod{q}\end{equation}
进一步得到
\begin{equation} ((kp)^{q-1})^{h(p-1)}\times kp\equiv kp \pmod{q} \end{equation}

\begin{equation} (kp)^{ed}\equiv kp \pmod{q} \end{equation}
将它改写成下面的等式
\begin{equation} (kp)^{ed}=tq+kp \end{equation}
这时t必然能被p整除,即 t=t’p
\begin{equation} (kp)^{ed}=t’pq+kp \end{equation}
因为 m=kp,n=pq,所以
\begin{equation}m^{ed} \equiv m\pmod {n}\end{equation}
原式得到证明。

(完)

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