最近再看加密算法的时候本来想写一篇关于RSA算法的,后来发现阮一峰写的这篇文章实在是太好了,就直接转载到这里了

原文链接:http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
作者: 阮一峰
日期: 2013年6月27日

如果你问我,哪一种算法最重要?
我可能会回答”公钥加密算法“。

因为它是计算机通信安全的基石,保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下,信用卡交易被破解的后果。
进入正题之前,我先简单介绍一下,什么是”公钥加密算法”。

一、一点历史

1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:

(1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
(2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密

由于加密和解密使用同样规则(简称”密钥”),这被称为”对称加密算法“(Symmetric-key algorithm)。
这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。保存和传递密钥,就成了最头疼的问题。

1976年,两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman,提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成解密。这被称为”Diffie-Hellman密钥交换算法“。这个算法启发了其他科学家。人们认识到,加密和解密可以使用不同的规则,只要这两种规则之间存在某种对应关系即可,这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。

(1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。
(2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。
(3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开,那么只要私钥不泄漏,通信就是安全的。


1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。
这种算法非常可靠,密钥越长,它就越难破解。根据已经披露的文献,目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说,长度超过768位的密钥,还无法破解(至少没人公开宣布)。因此可以认为,1024位的RSA密钥基本安全,2048位的密钥极其安全。
下面,我就进入正题,解释RSA算法的原理。文章共分成两部分,今天是第一部分,介绍要用到的四个数学概念。你可以看到,RSA算法并不难,只需要一点数论知识就可以理解。

二、互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系,不难得到以下结论:

1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。
2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。
3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。
5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。
6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

三、欧拉函数

请思考以下问题:

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以\(\phi(n)\)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以\(\phi(n)=4\)。
\(\phi(n)\)的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1,则\(\phi(1)=1\)。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数,则\(\phi(n)=n-1\)。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方,即\(n=p^k\) (p为质数,k为大于等于1的整数),则
\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}\tag{1.1}\)
比如\(\phi(8) = \phi(2^3) =2^3 – 2^2 = 8-4 = 4\)。
这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有\(p^{k-1}\)个,即\(1\times p,2\times p,3\times p,\ldots,p^{k-1}\times p\),把它们去除,剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式:
\(\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\tag{1.2}\)
可以看出,上面的第二种情况是k=1时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积,\(n=p_1\times p_2\),则
\(\phi(n)=\phi(p_1p_2)=\phi(p_1)\phi(p_2)\tag{1.3}\)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,\(\phi(56)=\phi(8\times 7)=\phi(8)\times\phi(7)=4\times 6=24\)。
这一条的证明要用到”中国剩余定理“,这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有\(\phi(p_1)\)种可能,b的值有\(\phi(p_2)\)种可能,则数对 (a,b) 有\(\phi(p_1)\phi(p_2)\)种可能,而c的值有\(\phi(p_1 p_2)\)种可能,所以\(\phi(p_1 p_2)\)就等于\(\phi(p_1)\phi(p_2)\)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
\begin{equation}n=p_1^{k1}p_2^{k2}\ldots p_r^{kr}\end{equation}
根据公式1.3,得到
\begin{equation}\phi(n)=\phi(p_1^{k1})\phi(p_2^{k2})\ldots\phi(p_r^{kr})\end{equation}
在根据公式1.2,得到
\begin{equation}\phi(n)=p_1^{k1}p_2^{k2}\ldots p_r^{kr}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots(1-\frac{1}{p_r})\end{equation}
也就等于
\begin{equation}\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots(1-\frac{1}{p_r})\tag{1.4}\end{equation}
就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
\begin{equation}\phi(1323)=\phi(3^3\times 7^2)=1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756\end{equation}

四、补充:同余定理

这部分是原文中没有的

同余是初等数论的基本概念之一,设m是给定的一个正整数,a、b是整数,若a与b除m余数相同,则记为
\begin{equation}a\equiv b\pmod{m}\end{equation}
这个式子称为模m的同余式,比如\(26\equiv 14\pmod{12}\)
同余式有一些常用得性质,比如说如果\(a_1\equiv b_1\pmod{m}, a_2\equiv b_2\pmod{m}, \ldots, a_n\equiv b_n\pmod{m} \),则
\begin{equation}a_1+a_2+\ldots+a_n\equiv (b_1+b_2+\ldots+b_n)\pmod{m} \\
a_1a_2\ldots a_n\equiv (b_1 b_2\ldots b_n)\pmod{m}\tag{1.5}\end{equation}

五、欧拉定理

欧拉函数的用处,在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是:
如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数\(\phi(n)\) 可以让下面的等式成立:
\(a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n\tag{1.6}\)
也就是说,a的\(\phi(n)\)次方被n除的余数为1。或者说,a的\(\phi(n)\)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数\(\phi(7)\)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。
欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。
欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,
\begin{equation}7^{\phi(10)}\equiv1\pmod {10}\end{equation}
已知\(\phi(10)=4\),根据公式1.5,也就是同余式可以相乘的特性,马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
\begin{equation}7^{4k}\equiv1\pmod {10}\end{equation}
因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

由于\(7^{222}=7^{4×55+2}\),而且\(7^{4k}\equiv1\pmod {10}, 7^{2}\equiv9\pmod {10}\),所以\(7^{4\times55+2}\equiv(\underbrace{1\times 1\times\ldots\times 1}_{55}\times 9)\pmod{10}\),可以得出结论,7^222得尾数为9

欧拉定理有一个特殊情况。
假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成
\begin{equation}a^{p-1}\equiv 1\pmod p\tag{1.7}\end{equation}
这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。
欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。

六、模反元素

还剩下最后一个概念:
如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。
\begin{equation}ab\equiv1\pmod {n}\end{equation}
这时,b就叫做a的”模反元素“。
比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
\begin{equation}a^{\phi(n)}\equiv a\times a^{\phi(n)-1}\equiv1\pmod {n}\end{equation}
可以看到,a的 \(\phi(n)-1\) 次方,就是a的模反元素。


好了,需要用到的数学工具,全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识,就是上面这些,下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

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