TheCodeWay:我的博客

前言：这个系列是我很早以前写的，这次重新开博原本并不打算重新找回原来的文章，不过不断有朋友找找我要其中的源码和图片，好在这些还有备份，重新发出来以做纪念

        SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)算法是一种流体模拟算法，他的特点是简单快速，可以用在例如游戏这样的实时的交互软件中。SPH算法虽然简单，但要完全搞明白其中的原理和实现方法，也不是易事，写这个系列希望能全面介绍一下相关的内容，如果你搜索到这里，可以仔细看一下这个系列，希望能帮到你。
        烟雾、海浪、水滴…，这些司空见怪的自然现象其实有着非常复杂的数学规律，对于流体的研究，有两种完全不同的视角，分别是欧拉视角和拉格朗日视角。欧拉视角的坐标系是固定的，如同站在河边观察河水的流动一样，用这种视角分析流体需要建立网格单元，还会涉及到有限元等复杂的工程方法，一般用在离线的应用中。而拉格朗日视角则将流体视为流动的单元，例如将一片羽毛放入风中，那么羽毛的轨迹可以帮我们指示空气的流动规律。

        SPH算法是典型的拉格朗日视角，它的基本原理就是通过粒子模拟流体的运动规律，然后再转换成网格进行流体渲染。

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        在正式开始之前，需要把SPH算法涉及到的相关数学概念介绍一下，这些概念基本上都是大学数学中的内容，所以不用紧张，翻翻书就能想起来。
        

标量场和矢量场

        如果空间区域内一点M，都有一个确定的数量f(M)，则称这个空间区域内确定了一个标量场，如果空间区域内任意一点M，都有一个确定的向量F(M)，则称这空间区域内确定了一个矢量场。例如，液体中的密度，就是标量场，而速度，就是矢量场

        

偏导数

        对于多元函数\(z=f(x,y)\)，定义\(z\)在\((x_0,y_0)\)处相对于x的偏导数为
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\triangle x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x}\tag{1.1}
$$        例如，定义\(z=x^2+2xy+y^3\)，那么\(\partial z/\partial x=2x+2y,\partial z/\partial y=2x+3y^2\)
        

哈密顿算子

        哈密顿算子\(\nabla\)在流体力学中是如此重要，以至于很多地方将这个符号作为流体力学的标志，所以这里要着重介绍一下，所谓“算子”，就是那种不能单独存在，必须和其他符号放在一起的一种数学符号，例如微分中的那个“d”。哈密顿算子的定义如下：$$
\nabla\equiv\vec{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial}{\partial z}\tag{1.2}
$$        哈密顿算子有很多有趣的特性，它本身虽然并不是一个矢量，但很多运算确实可以把它视为一个矢量，例如把它作用在一个标量场\(A=f(x,y,z)\)上，那么$$
\nabla A=\vec{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial f}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial f}{\partial z}\tag{1.3}
$$        这个运算可以视为一个矢量和标量的乘法，得到的\(\nabla A\)是一个矢量场，称为A的“梯度”，顾名思义，梯度的含义就是标量场A在某处变化快慢和方向，比如一个标量场H(x,y)是一座高山在(x,y)处的高度，则H的梯度是该高山在某处陡峭的程度，并且方向指向高处。

        而如果把哈密顿算子作用在一个矢量场\(\vec{A}\)上，得到的\(\nabla\cdot\vec{A}\)称为矢量场A的“散度”，散度的计算和矢量的点积运算相似，得到的是一个标量场。$$
\nabla\cdot\vec{A}=\left(\vec{x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(\vec{x}A_x+\vec{y}A_y+\vec{z}A_z)=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\tag{1.4}
$$        散度的意义也很明显，就是描述一个矢量场“发散”的程度，例如下面的两个矢量场，左边的有很大的散度，而右边的散度为0

        

拉普拉辛算子

        拉普拉辛算子\(\nabla^2\)是二阶微分算子，有时也可写作\(\triangle\)或者\(\nabla\cdot\nabla\)$$
\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\tag{1.5}
$$        例如对于\(A=f(x,y,z)\)
$$
\nabla^2A=\frac{\partial^2A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2A}{\partial z^2}\tag{1.6}
$$