斐波那契数列作为最有名的数列之一广为人之,它的顺序就是 0,1,1,2,3,5,8,13,… 每个数字都是前两个数字的和,这个数列有很多有意思的特征,比和数字“89”的关系。方法很简单,把数列排列成一列,然后每个数都依次右移,最后加在一起形成一个小数,这个数恰好就是1/89。

    这个是很容易证明的,我们知道Fibonacci数列的一般形式如下
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n – \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right] \tag{1.1}\)
    设\(\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\),那么
\(\displaystyle a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)\tag{1.2}\)
    对于最开始提到的那个小数,可以描述为下面的方式
\(\displaystyle S=\dfrac{a_0}{10^1}+\dfrac{a_1}{10^2}+\dfrac{a_2}{10^3}+\cdots=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{a_n}{10^n}\tag{1.3}\)
    把1.2带入1.3,可以得到
\(\displaystyle S=\dfrac{1}{10}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\dfrac{1}{10^n}(\alpha^n-\beta^n)=\dfrac{1}{10\sqrt{5}}\left[\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\dfrac{\alpha}{10})^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\dfrac{\beta}{10})^n \right] \tag{1.4} \)
    由于α和β都小于10,根据等比数列的求和计算方法,可以得到
\(S=\dfrac{1}{10\sqrt{5}}\left[\dfrac{1}{1-\alpha/10} – \dfrac{1}{1-\beta/10}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\dfrac{\alpha-\beta}{(10-\alpha)(10-\beta)} =\dfrac{1}{89} \tag{1.5} \)

3 thoughts on “斐波那契数列和1/89

  1. 博主您好,我是一名研究生,我在网上找到了有关您发的SPH算法的简介的文章以及程序下载,但是链接和图片都失败了,想来应该是您在上一篇博客里说的误删除事件导致的,我想问一下,您方便把您以前的有关SPH的博客文章程序代码发送一份给我吗?我想看着您的文章学习一下SPH方法,因为感觉非常精炼有效,我的邮箱时marshallqj@qq.com,期待您的回信,感谢您

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